Aufgaben zu Extremwertproblemen im Koordinatensystem

Hier findest du Aufgaben zu Extremwertproblemen im Koordinatensystem. Lerne, Extremwertprobleme mit graphischer Darstellung zu lösen!

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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Ein Punkt $P (x_{P} | y_{P})$ gleite auf der Strecke $[A B]$ mit $A (0 | 6)$ und $B (4 | 0)$ .
Er ist die Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks mit einer festen Ecke im Koordinatenursprung.
Für welchen Punkt $P$ hat das Dreieck den größtmöglichen Flächeninhalt? Wie groß ist dieser?
Im nachfolgenden Applet kannst du - bevor du rechnest - experimentieren.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben
Für das gleichschenklige Dreieck mit der Spitze $P$ gilt:
Grundlinie = $2 \cdot x_{P}$
Höhe = $y_{P}$
Für die Dreiecksfläche ergibt sich also:
$A_{D r e i e c k} = x_{P} \cdot y_{P}$
Gib die Zielfunktion und die Nebenbedingung für die Extremumsaufagbe an.
Zielfunktion
$A_{D r e i e c k} = x_{P} \cdot y_{P}$
Nebenbedingung
Der Punkt $P (x_{P} | y_{P})$ liegt auf der Strecke $[A B]$ .
Ermittle die Geradengleichung $A B$ .
allgemeiner Ansatz einer Geradengleichung:
$g (x) = mx + t$
Bestimme den y-Achsenabschnitt $t$ , indem du abliest, wo der Graph die y-Achse schneidet.
$\Rightarrow t = 6$
Bestimme die Steigung m, indem du ein Steigungsdreieck benutzt:
Gehe von irgendeinem Geradenpunkt $1 L E$ nach rechts und lies ab, wie viele Einheiten du nach unten gehen musst, um wieder auf den Funktionsgraphen zu treffen.
$\Rightarrow m = - 1,5$
Setze die Werte $m$ und $t$ in die Funktionsgleichung ein.
$\Rightarrow g (x) = - 1,5 x + 6$
Gib noch den Definitionsbereich $D_{g}$ an, mit dem die Gerade $g$ auf die Strecke $[A B]$ begrenzt wird.
$D_{g} = [0; 4]$
Gib nun die Nebenbedingung als Funktionsgleichung für den Punkt $P (x_{P} | y_{P})$ an.
Nebenbedingung
$y_{P} = - 1,5 \cdot x_{P} + 6$
Zielfunktion
$A (x_{P}; y_{P}) = x_{P} \cdot y_{P}$
Setze $y_{P}$ der Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.
$A (x_{P}) = - 1,5 \cdot x_{P}^{2} + 6 \cdot x_{P}$
Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel.
Ihr Maximum lässt sich über die Scheitelform durch eine quadratische Ergänzung ermitteln.
$\begin{array}{rcl} A (x_{P}) & = & - 1,5 (x_{P}^{2} - 4 x_{P}) \\ = & - 1,5 (x_{P}^{2} - 4 x_{P} + 2^{2}) + 6 \\ = & - 1,5 (x_{P} - 2)^{2} + 6 \end{array}$
Lies den Scheitelpunkt ab.
$\Rightarrow S (2 | 6)$
Gib die Bedeutung der Koordinaten des Scheitelpunktes an.
$\Rightarrow$ Bei $x_{p} = 2$ ist der Flächeninhalt $6 LE$ und dies ist der gesuchte größtmögliche Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks.
Bestimme aus der Nebenbedingung den y-Wert des Punktes $P$ .
$y_{p} = - 1,5 \cdot 2 + 6 = 3$
Gib den gesuchten Punkt $P$ und den maximalen Flächeninhalt in einem Antwortsatz an.
Für den Punkt $P (2 | 3)$ ist der Flächeninhalt des darunterliegenden Dreiecks maximal und er beträgt $6 FE$ .
Weitere Lösungsmöglichkeit über die Ableitung von $A (x_{P})$
$\begin{array}{rcl} A (x_{P}) & = & - 1,5 x_{P}^{2} + 6 x_{P} \\ A^{'} (x_{P}) & = & - 3 x_{P} + 6 \end{array}$
Setze $A^{'} (x_{P})$ gleich Null und löse nach $x_{P}$ auf.
$A^{'} (x)$ $=$ $0$
$- 3 x_{P} + 6$ $=$ $0$ $+ 3 x_{P}$
$6$ $=$ $3 x_{P}$ $: 3$
$2$ $=$ $x_{P}$
Setze den Wert in $A (x_{P})$ und in die Nebenbedingung $y = - 1,5 \cdot x_{P} + 6$ ein und du hast die Lösung der Aufgabe.
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Von einer Parabel sind der Scheitelpunkt $S (2, 5 | 12, 5)$ und eine Nullstelle $x = 5$ bekannt. Eine Gerade schneidet die $y$ - Achse bei $y = - 1$ und geht durch den Punkt $R (3 | 5)$ .
$a)$ Bestimme den Funktionsterm $f (x)$ zur Parabel und den Funktionsterm $g (x)$ zur Geraden.
$b)$ Die Gerade $x = u$ $(0 \leq u \leq 4)$ schneidet die Parabel (Graph zu $f (x)$ ) im Punkt $P$ und die Gerade $g (x)$ im Punkt $Q$ .
Für welches $u$ ist die Strecke $P Q$ maximal?
Abb. 1
Parabel $f (x)$ , Gerade $g (x)$
und Gerade $x = u$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
Lösung Teilaufgabe a)
Bestimmen der Funktionsgleichung von f
Aus der Aufgabenstellung kannst du bereits die wichtigsten Daten herauslesen, um die Funktionsgleichung von $f$ zu berechnen.
Der Graph von $f$ ist eine Parabel, also ist $f$ eine quadratische Funktion
Der Scheitel der Parabel liegt bei $S (2,5 | 12,5)$ .
Die Funktionsgleichung hat eine Nullstelle bei $x = 5$ .
Da $f$ eine qudratische Funktion ist und dessen Scheitel gegeben ist, kannst du hilft dir die Scheitelpunktsform $f$ zu bestimmen:
Die Funktion $f$ hat die Form: $f (x) = a (x - d)^{2} + e$ , wobei der Scheitelpunkt bei $S (d | e)$ liegt.
Da der Scheitel laut Angabe bei $S (2,5 | 12,5)$ liegt, ist in dieser Aufgabe $d = 2,5$ und $e = 12,5$ .
Setze nun $d$ und $e$ in die Funktionsgleichung ein:
$f (x) = a (x - d)^{2} + e = a \cdot (x - 2,5)^{2} + 12,5$
Nun haben wir eine Funktionsgleichung gefunden, die einen Scheitel bei $S (2,5 | 12,5)$ hat. Der Öffnungsfaktor $a$ der Parabel fehlt noch. Hier hilft dir die Angabe der Nullstelle, um $a$ (und dadurch auch $f$ ) eindeutig zu bestimmen.
Da $x = 5$ eine Nullstelle ist, ist $f (5) = 0$ . Setze $x = 5$ in $f$ ein und löse nach $a$ auf:
$\begin{array}{rcl} f (5) & = & 0 \\ a \cdot (5 - 2,5)^{2} + 12,5 & = & 0 \\ 6,25 a + 12,5 & = & 0 \\ 6,25 a & = & - 12,5 \end{array}$
$\Rightarrow a = - \frac{12,5}{6,25} = - 2$
$\Rightarrow f (x) = - 2 (x - 2,5)^{2} + 12,5$
Wenn du willst, kannst du $f (x)$ nun noch ausmultiplizieren:
$\begin{array}{rcl} f (x) & = & - 2 (x^{2} - 5 x + 6,25) + 12,5 \\ = & - 2 x^{2} + 10 x - 12,5 + 12,5 \\ = & - 2 x^{2} + 10 x \end{array}$
Bestimmen der Funktionsgleichung für g
Aus der Angabe kannst du folgende Daten zu $g$ herauslesen:
$g$ ist eine Gerade.
$g$ schneidet die $y$ -Achse bei $y = - 1$ .
Der Punkt $R (3 | 5)$ liegt auf $g$ .
Eine Gerade ist der Graph einer linearen Funktion und hat im allgemeinen die Form $g (x) = m x + t$ .
$m$ bezeichnet die Steigung der Geraden und $t$ den $y$ -Achsenanschnitt, also bei welchem $y$ -Wert die Gerade die $y$ -Achse schneidet.
Da der $g$ die $y$ -Achse bei $y = - 1$ schneidet ist $t = - 1$ und du bekommst $g (x) = m x - 1$ als erstes Ergebnis.
Setzt man nun den Punkt $R (3 | 5)$ in $g (x)$ ein, kann die Steigung $m$ berechnet werden:
$\begin{array}{rcl} g (x) & = & m x - 1 \\ 5 & = & m \cdot 3 - 1 \\ 6 & = & 3 \cdot m \\ m & = & 2 \end{array}$
$\Rightarrow g (x) = 2 x - 1$
Antwort: Die gesuchten Funktionsgleichungen für die Parabel und die Gerade lauten: $f (x) = - 2 x^{2} + 10 x$ und $g (x) = 2 x - 1$ .
Lösung Teilaufgabe b)
Die Länge der Strecke $P Q$ soll maximal werden.
$P Q$ ist die Differenz der Funktionswerte $f (u)$ und $g (u)$ also $f (u) – g (u)$
Die Zielfunktion lautet also:
$D (u) = f (u) – g (u)$
$D (u)$ ist eine quadratische Funktion in Abhängigkeit von $u$ .
Setze $f (u)$ und $g (u)$ in $D (u)$ ein und löse soweit wie möglich auf:
$D (u) = (- 2 u^{2} + 10 u) - (2 u - 1) = - 2 u^{2} + 8 u + 1$
Von dieser Funktion soll das Maximum bestimmt werden. Dies kannst du auf folgende zwei Arten machen:
i) mit Scheitelpunktsbestimmung und mit dem Wissen über quadratische Funktionen
ii) mit der Ableitung .
i) Lösen mit Hilfe der Scheitelpunktsbestimmung und dem Wissen über quadratische Funktionen
$D (u) = - 2 u^{2} + 8 u + 1$
Der Koeffizient vor dem $x^{2}$ ist negativ , somit handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel.
Der Scheitelpunkt ist daher ein Maximum.
Du kannst nun den Scheitelpunkt durch quadratische Ergänzung ermitteln.
Klammere zuerst $(- 2)$ aus:
$D (u) = - 2 (u^{2} - 4 u - 0,5)$
Der gemischte Term in der Klammer ist $- 4 u$ , d.h. du musst eine quadratische Ergänzung mit ${(\frac{4}{2})}^{2} = 2^{2}$ machen.
Addiere in der Klammer $2^{2}$ und subtrahiere diesen Term gleich wieder:
$D (u) = - 2 (u^{2} - 4 u + 2^{2} - 2^{2} - 0,5)$
Fasse die ersten drei Terme in der Klammer mit Hilfe der 2. binomischen Formel zusammen:
$D (u) = - 2 ((u - 2)^{2} - 2^{2} - 0,5) = - 2 ((u - 2)^{2} - 4,5)$
Löse die Klammer wieder auf:
$ D (u) = (- 2) \cdot (u - 2)^{2} + (- 2) \cdot (- 4,5) = (- 2) \cdot (u - 2)^{2} + 9$
Lies den Scheitelpunkt ab:
$D (u) = (- 2) \cdot (u - 2)^{2} + 9 \Rightarrow S (2 | 9)$
Antwort: An der Stelle $x = u = 2$ liegt ein Maximum vor. Die längste Strecke $P Q$ hat die Länge $9 L E$ (Längeneinheiten).
ii) Lösen mit der Ableitung
$D (u) = - 2 u^{2} + 8 u + 1$
Die Nullstellen der 1. Ableitung von $D (u)$ sind mögliche Maximalstellen. Wenn zudem die 2. Ableitung kleiner $0$ ist hat man ein Maximum berechnet.
Die $1.$ Ableitung lautet: $D^{'} (u) = - 4 u + 8$
Bestimme die Nullstellen von $D^{'} (u)$ .
$\begin{array}{rcl} D^{'} (u) & = & 0 \\ - 4 u + 8 & = & 0 \\ - 4 u & = & - 8 \\ u & = & 2 \end{array}$
Die $2.$ Ableitung lautet: $D^{''} (u) = - 4 < 0$ .
$D^{''} (u)$ ist also für jedes $u$ aus dem Definitionsbereich $< 0$ und somit auch bei $D^{''} (2) < 0$ .
$D (u)$ hat also ein lokales Maximum bei $u = 2$ .
Berechnet man $D (2)$ , so erhält man die maximale Länge der Strecke $P Q$ .
$D (2) = (- 2) \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 + 1 = - 8 + 16 + 1 = 9$
Antwort: An der Stelle $x = u = 2$ liegt ein Maximum vor.
Die längste Strecke $P Q$ hat die Länge $9 L E$ (Längeneinheiten).
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Gegeben sind die beiden Parabeln mit den Funktionsgleichungen
$f (x) = 4 - x^{2}$ und $g (x) = {(x - 2)}^{2} - 6$
1. Zeichne die beiden Graphen sauber in ein Koordinatensystem
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel zeichnen
  $\begin{array}{ccc} f (x) & = & 4 - x^{2} \\ g (x) & = & (x - 2)^{2} - 6 \end{array}$
  Zeichne die Parabeln ein. Verwende dazu entweder die Technik aus dem verlinkten Artikel oder benutze eine Wertetabelle.
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2. Berechne die Schnittpunkte der beiden Parabeln
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
  $\begin{array}{ccc} f (x) & = & 4 - x^{2} \\ g (x) & = & (x - 2)^{2} - 6 \end{array}$
  Setze die beiden Funktionen gleich.
  $4 - x^{2} = (x - 2)^{2} - 6$
  Bringe die quadratische Gleichung auf allgemeine Form
  $2 x^{2} - 4 x - 6 = 0$
  Berechne die Diskriminante .
  $D = b^{2} - 4 a c = (- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6) = 64$
  Die Gleichung hat also zwei Lösungen, die mit Hilfe der Mitternachtsformel berechnet werden können.
  $ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{D}}{4} = \frac{4 \pm 8}{4} \Rightarrow x_{1} = 3, x_{2} = - 1$
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3. Zeichnet man im Bereich $- 1 < x < 3$ senkrechte Verbindungsstrecken von der oberen zur unteren Parabel, so haben diese Strecken unterschiedliche Längen.
  Bestimme die Strecke mit der größten Länge! Zeichne diese Strecke in dein Bild ein!
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
  $\begin{array}{ccc} f (x) & = & 4 - x^{2} \\ g (x) & = & (x - 2)^{2} - 6 \end{array}$
  Zu maximieren ist der Abstand zwischen den beiden Funktionen; die Extremalfunktion bestimmst du also mit $f (x) - g (x)$ , da $f$ im Bereich $- 1 < x < 3$ größer als $g$ ist.
  $E (x) = f (x) - g (x) = - 2 x^{2} + 4 x + 6$
  Leite diese Funktion zweimal ab , um die Extremstelle bestimmen zu können.
  $ \begin{array}{ccc} E^{'} (x) & = & - 4 x + 4 \\ E^{''} (x) & = & - 4 \end{array}$
  Setze die erste Ableitung gleich Null , berechne x und setze in die zweite Ableitung ein, um zu erkennen, dass es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.
  $E^{'} (x) = - 4 x + 4 = 0$
  $x = 1$
  $E^{''} (1) = - 4$
  $E (1) = 8$
  Die längste zwischen den Graphen verlaufende senkrechte Strecke ist also bei $x = 1$ zu finden. Ihre Länge beträgt $8$ Längeneinheiten.
  Nun musst du diese Strecke nur noch in die Zeichnung von Teilaufgabe a) einzeichnen. In der Grafik ist sie gestrichelt eingetragen.
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Das Bild zeigt eine Gerade $g$ und eine Parabel $p$ .

Bestimme von Gerade und Parabel jeweils die Funktionsgleichung. Berechne dann die Schnittpunkte der beiden Graphen.

Gib die Koordinaten eines Punktes $P$ auf der Parabel nur in Abhängigkeit von $x_{p}$ an. Zeichnet man für $0 < x_{p} < 6$ zwischen dem Punkt $P$ und der Geraden $g$ zur y-Achse parallele Strecken, so sind diese Strecken unterschiedlich lang. Bestimme unter diesen Strecken die längste.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Koordinaten eines Punktes $P$ auf der Parabel
Ein Punkt auf der Parabel hat nach der Funktionsgleichung die Koordinaten $P (x_{p} | - 0,5 x_{p}^{2} + 4 x_{p})$ .
Längste Strecke
Die Länge $S (x)$ der Strecke an der Stelle $x$ ergibt sich als Differenz der beiden Funktionswerte.
$S (x) = - 0,5 x^{2} + 4 x - x$
Nullstellen der 1. Ableitung sind mögliche Maximalstellen.
$S^{'} (x) = - x + 3 = 0$
$x = 3$ ist also die einzige Extremstelle. Mit der 2. Ableitung lässt sich überprüfen, ob hier ein Maximum vorliegt.
$S^{''} (x) = - 1$
$S^{''} (3) = - 1 < 0$
Damit liegt an der Stelle $x = 3$ ein Maximum vor. Die längste Strecke hat damit die Länge
$S (3) = - 0,5 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 = 4,5$
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$8$	$=$	$a \cdot 4^{2} + b \cdot 4$	$- a \cdot 4^{2}$
	↓	$4^{2} = 16$
$8 - a \cdot 16$	$=$	$b \cdot 4$	$: 4$
$b$	$=$	$2 - 4 \cdot a$

$0$	$=$	$a \cdot 8^{2} + b \cdot 8$
	↓	Setze die aus dem vorherigen Schritt bekannte Gleichung $b = 2 - 4 \cdot a$ ein.
	$=$	$a \cdot 8^{2} + (2 - 4 \cdot a) \cdot 8$
	↓	Berechne das Quadrat und löse die Klammer auf.
	$=$	$64 a + 16 - 32 a$
	↓	Fasse die Terme zusammen.
	$=$	$32 a + 16$	$- 16$
$- 16$	$=$	$32 a$	$: 32$
$a$	$=$	$- 0,5$

$x$	$=$	$- 0,5 x^{2} + 4 x$	$- x$
$0$	$=$	$- 0,5 x^{2} + 3 x$
	↓	Klammere $x$ aus.
	$=$	$x (- 0,5 x + 3)$

$A^{'} (x)$	$=$	$0$
$- 3 x_{P} + 6$	$=$	$0$	$+ 3 x_{P}$
$6$	$=$	$3 x_{P}$	$: 3$
$2$	$=$	$x_{P}$

Aufgaben zu Extremwertproblemen im Koordinatensystem

Weitere Lösungsmöglichkeit über die Ableitung von A(xP)

Lösung Teilaufgabe a)

Bestimmen der Funktionsgleichung von f

Bestimmen der Funktionsgleichung für g

Lösung Teilaufgabe b)

i) Lösen mit Hilfe der Scheitelpunktsbestimmung und dem Wissen über quadratische Funktionen

ii) Lösen mit der Ableitung

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Schnittpunkte berechnen

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Koordinaten eines Punktes P auf der Parabel

Längste Strecke

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Weitere Lösungsmöglichkeit über die Ableitung von $A (x_{P})$

Koordinaten eines Punktes $P$ auf der Parabel